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sexta-feira, 29 de julho de 2022

Correspondem aos números positivos, negativos e o zero

 Caros Leitores;







Os número inteiros correspondem aos números positivos, negativos e o 0 (zero). Eles formam um conjunto numérico representado pela letra Z, em referência a palavra alemã Zahlen (números ou algarismos), Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}.

Tais números surgiram a partir da necessidade de várias áreas de conhecimento em quantificar números específicos. Os comerciantes do Renascimento, por exemplo, tinham uma grande dificuldade em quantificar ganhos e perdas de mercadorias. 

Os número inteiros correspondem aos números positivos, negativos e o 0 (zero). Eles formam um conjunto numérico representado pela letra Z, em referência a palavra alemã Zahlen (números ou algarismos), Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}.

Tais números surgiram a partir da necessidade de várias áreas de conhecimento em quantificar números específicos. Os comerciantes do Renascimento, por exemplo, tinham uma grande dificuldade em quantificar ganhos e perdas de mercadorias. 

Propriedades dos números inteiros

Agora que você já conhece a breve história nos números inteiros, que tal conhecer sobre as suas propriedades?

Os números negativos são identificados pelo sinal de menos (-) na frente, enquanto os números positivos podem ter ou não um sinal de mais (+) na frente. O zero, não é positivo nem negativo, mas sim neutro. 

Postado por Alana Caiusca em 05/04/2019

Fonte: Educa Mais Brasil 

https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/numeros-inteiros

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quinta-feira, 28 de julho de 2022

Teoria dos Números Algébricos

 Caros Leitores;

A Teoria dos números é, em princípio, uma teoria dos números racionais e inteiros e, em grande parte, está ligada ao problema de resolver equações diofantinas, isto é, encontrar soluções inteiras para equações algébricas. 

Os pré-requisitos necessários para a leitura deste livro foram reduzidos aos conhecimentos mais básicos da Álgebra. As noções básicas sobre corpos, anéis e módulos que serão usadas, encontram-se sem demonstração (mas às vezes com referências) no §0. Resultados adicionais, inclusive os usualmente abordados num curso de Mestrado em Álgebra, serão demonstrados nos parágrafos onde forem utilizados. 

Espera-se que este livro seja útil para divulgar os números algébricos no Brasil e estimular estudos mais profundos na Teoria dos Números, que costuma ser chamada de “Rainha da Matemática”. Pode servir também como uma introdução suave e bem motivada a alguns tópicos de Álgebra Comutativa, pois nele as noções abstratas desta teoria são introduzidas para serem imediatamente aplicadas ao caso concreto de números algébricos.      

Acesse o link abaixo e saiba mais>

Fonte: Instituto    Matemática Aplicada

https://impa.br/page-livros/teoria-dos-numeros-algebricos/

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quarta-feira, 27 de julho de 2022

O sábio que introduziu algarismos arábicos no Ocidente e nos salvou de multiplicar CXXIII por XI

 Caros Leitores;







Al-Khwarizmi nos deixou como legado a álgebra e a palavra algoritmo

Galileu, Newton, Einstein... são três grandes nomes da ciência ocidental.

Mas, como o próprio Newton escreveu, citando o filósofo do século 12 Bernardo de Chartres:

"Se eu vi mais longe, foi por estar sentado sobre os ombros de gigantes".

Vários desses gigantes nos quais cientistas ilustres se apoiaram e continuam a se apoiar, foram relativamente esquecidos... mas, se olharmos com atenção, podemos encontrá-los.

Segundo historiadores, o principal legado do grande matemático italiano Leonardo Pisano, mais conhecido como Fibonacci, foi ajudar a Europa a abandonar o antigo sistema de algarismos romanos e adotar os numerais indo-arábicos.Eles constam em seu Liber Abaci ("Livro de Cálculo"), que escreveu em 1202 após estudar com um professor árabe.

Na mesma obra, há uma referência a um texto anterior chamado Modum algebre et almuchabale, e na margem está escrito Maumeht, que é a versão em latim do nome Mohamed.






Assim como Fibonacci, estudiosos europeus dos séculos 12 a 17 se referem com frequência a textos islâmicos e nomes árabes em manuscritos sobre diversos temas, da medicina à cartografia

No caso, a referência é especificamente para Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, conhecido como Al-Khuarismi, que viveu aproximadamente entre os anos 780 e 850.

Foi graças a ele que os intelectuais europeus souberam da existência dos numerais indo-arábicos.

Dos hindus ao Oriente Médio, de Bagdá à Europa

A obra de Al-Khuarismi aborda um aspecto crucial de toda nossa vida.

Por causa dela, o mundo europeu percebeu que sua maneira de fazer conta — ainda essencialmente baseada em algarismos romanos — era irremediavelmente ineficiente e atrapalhada.

Se eu pedir para você multiplicar 123 por 11, você consegue calcular até de cabeça. A resposta é 1.353.

Agora tente fazer isso com algarismos romanos: você tem que multiplicar CXXIII por XI. Pode ser feito, claro. Mas não é nem um pouco fácil.

Em seu Livro de adição e subtração, de acordo com o cálculo hindu, Al-Khuarismi descreveu uma ideia revolucionária: a possibilidade de representar qualquer número com apenas 10 símbolos simples.

Essa ideia de usar apenas dez símbolos — os dígitos de 1 a 9, além do símbolo 0 — para representar todos os números de um ao infinito, foi desenvolvida por matemáticos hindus por volta do século 6, e sua importância é inestimável.







E assim os algarismos foram evoluindo, da direita para a esquerda

Separador decimal

Al-Khuarismi e seus colegas fizeram mais do que traduzir o sistema hindu para o árabe: eles criaram o separador decimal — que em alguns países é o ponto e em outros, como o Brasil, é uma vírgula.

Sabemos disso graças à obra do matemático Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi.

O livro Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi, dos anos 952-3 — o manuscrito mais antigo em que é proposto um tratamento de frações decimais, escrito apenas um século depois de Al-Khwarizmi — mostra que o mesmo sistema decimal pode ser ampliado para descrever não apenas números inteiros, mas também frações.

A ideia do ponto decimal (ou da vírgula, no caso do Brasil) é tão familiar para nós que é difícil entender como vivíamos antes dele — parece incrivelmente óbvio depois de ser descoberto.






O zero e o ponto decimal nos levaram ao infinito. Um ótimo exemplo é a constante de Euler, um dos números mais importantes da matemática

Quem foi Al-Khuarismi ?

Al-Khuarismi, o grande matemático que deu ao Ocidente os números e o sistema decimal, também era astrônomo — e levou seu conhecimento para a corte do califa al-Mam'un, em Bagdá.

Ele era um emigrante da Pérsia oriental e um homem do seu tempo, a Idade de Ouro Islâmica.

Sua forma de pensar era ousada, e ele gozava de um grande luxo: vivia rodeado por livros.







Al-Khwarizmi é um dos grandes ícones do Império Islâmico

Graças ao Movimento das Traduções, que reuniu trabalhos científicos de todo o mundo conhecido até então, no fim do século 9, um importante corpus matemático grego — que incluía obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio de Perga, Ptolomeu e Diofanto — foi traduzido para o árabe.

Da mesma forma, a matemática babilônica e hindu antigas, assim como as contribuições mais recentes de sábios judeus, estavam disponíveis para estudiosos islâmicos.

Al-Khuarismi estava na posição privilegiada de ter acesso a diferentes tradições matemáticas.

A grega abordava principalmente a geometria, ciência de formas como triângulos, círculos e polígonos, que ensina a calcular área e volume. A hindu havia inventado o sistema decimal de dez símbolos que tornava as contas muito mais simples.

Ao combinar a intuição geométrica com a precisão aritmética, imagens gregas e símbolos hindus, ele inspirou uma nova forma de pensamento matemático que hoje chamamos de álgebra.

Al-Khuarismi foi tão importante para a matemática no ocidente que a própria palavra "algarismo" tem origem em seu nome.







Al-Khwarizmi é considerado o pai da álgebra

Al-Jabr

No livro Al-Jabr w'al-Muqabala, de autoria de Al-Khuarismi, é a primeira vez que a palavra Al-Jabr ("álgebra") aparece.

Ele começa dizendo: "Descobri que as pessoas necessitam de três tipos de números: unidades, raízes e quadrados."

E mostra a seguir como resolver equações usando métodos algébricos.

Equações quadráticas (ou de segundo grau) já eram resolvidas nos tempos da Babilônia. A diferença é que não havia fórmulas, e cada problema era resolvido individualmente:

"Pegue a metade de 10, que é 5, e o quadrado, que é 25"; e mais tarde, outro diria: "Pegue a metade de 12, que é 6, e o quadrado, que é 36".

E assim sucessivamente, eles passavam pelo mesmo processo repetidas vezes com números diferentes, conforme o caso.






As fórmulas são libertadoras porque permitem resolver os mesmos tipos de problemas sem ter que começar do zero toda vez

Para Al-Khuarismi,, a solução não estava nos números que precisávamos descobrir, mas em um processo que pudéssemos aplicar.

Ou seja: o quadrado significa fazer a raiz quadrada e multiplicá-la por ela mesma. E essa fórmula é verdadeira qualquer que seja a raiz quadrada. Se for 5, é 5 vezes 5, que é 25; se for 3, é 3 vezes 3...

Não usar números, mas símbolos, acabou sendo uma ideia incrivelmente libertadora, permitindo que você resolva problemas sem se prender a cálculos numéricos bagunçados.

'Algoritmi de numero Indorum'

Ao abandonar temporariamente a relação com números específicos, você manipula os novos elementos (x, y, z) de acordo com as regras que explica em seu livro: uma série de fórmulas.

Os números que os símbolos representam em seu problema específico aparecerão milagrosamente no final.

Pense em algo simples e cotidiano, era o que Al-Khuarismi queria ajudar a resolver:

Ahmed morre e deixa 80 moedas de herança. Para um amigo, ele destina um quarto delas; para sua viúva, um oitavo; o resto é para seus três filhos. Cada fração corresponde a quanto?

Al-Khwarizmi fez com que a incógnita fosse parte da equação: o que chamamos de X em álgebra.




O tratado escrito por Al-Khuarismi por volta de 825 sobre o sistema numérico indo-arábico foi traduzido no século 12 com o nome Algoritmi de numero Indorum, que significa "Algoritmi sobre os números hindu"; "Algoritmi" foi a tradução para o latim do nome Al-Khuarismi.

Na obra, ele nos apresenta a essas fórmulas que, devido à tradução do seu nome, acabaram sendo chamadas de algoritmos.

Al-Khuarismi permitiu que a álgebra existisse como uma área da matemática por mérito próprio, e se tornasse um fio condutor para quase todas as outras. A álgebra nada mais é do que uma série geral de princípios e, se você os compreender, a entenderá.

Qual é a verdadeira importância da álgebra?

Ela foi usada ao longo do tempo para resolver todos os tipos de problemas.

Se a massa de uma bala de canhão for 'm' e a distância que tem que percorrer, 'd', você usa a álgebra para calcular o ângulo ideal para apontar o canhão.

É o tipo de conhecimento que vence guerras.

Ou podemos chamar a velocidade da luz de 'c', a mudança na massa de um núcleo atômico de 'm', e assim calcular a energia liberada com esta simples fórmula:




A famosa equação de de Einstein determina a equivalência entre massa e energia

Esse tipo de conhecimento é poderoso. Os números arábicos e a álgebra foram uma contribuição inestimátivel para a ciência ocidental, que permitiu desde a ida do homem à lua ao desenvolvimento do dispositivo com o qual você está lendo esta reportagem.

Fonte: BBC / Jim Al-Khalili, físico Da série da BBC "Ciência e Islã" / 29-11-2020

https://www.bbc.com/portuguese/geral-54327147

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terça-feira, 26 de julho de 2022

Ciências Naturais

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Origem da Filosofia

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A Filosofia, como conhecemos, teve origem na Grécia Antiga como resultado de uma intensa mudança de pensamento.

A partir do final do século VII a.C., os homens e as mulheres não se satisfazem mais com uma explicação mítica da realidade. Surge então a Filosofia

A Filosofia, como conhecemos, teve origem na Grécia Antiga como resultado de uma intensa mudança de pensamento. Desde o seu surgimento, em Mileto no século VI a.C., e do aparecimento da palavra “filosofia”, que Cícero e Diógenes atribuem a Pitágoras, muitos filósofos tentaram responder à pergunta sobre o que é a Filosofia. Além desse trabalho de investigação constante acerca da natureza da Filosofia, há também uma diversidade de temas e de preocupações que os filósofos tentam responder.

Vejamos abaixo dez tópicos fundamentais para saber sobre a origem da Filosofia:

1) Embora tenha havido expressões de conhecimento no Oriente e na África, a maior parte dos historiadores considera que a Filosofia entendida como um conhecimento racional e sistemático tenha se iniciado na Grécia. A defesa parte da própria natureza dos conhecimentos produzidos até então, ainda ligados de alguma forma ao saber religioso. Essa defesa, no entanto, tem sido recentemente contestada.

2) A Grécia Antiga era formada por um conjunto de cidades-Estado (pólis) independentes que podiam ser, em alguns casos, até mesmo rivais entre si.

3) Mesmo que a Grécia não fosse uma unidade em termos de território e de pensamento, há algumas condições que propiciaram que fosse ali o surgimento da filosofia: a poesia, a religião e a política.

4) Um longo processo, determinado por esses fatores, promoveu uma mudança na mentalidade grega. A religião grega, tanto a pública, como aquela referida como “a religião dos mistérios”, era não dogmática e permitia que os filósofos expressassem suas ideias. A poesia, buscava uma causa nos acontecimentos narrados e isso denota uma preocupação em compreender a realidade. A política, que se desenhava a partir daquilo que viria a se chamar democracia, dependia do discurso e da explicação racional das ideias. O comércio, que se desenvolvia, permitiu tanto o contato com outras formas de pensamento, como também propiciou a invenção do alfabeto, da escrita alfabética e do calendário, de forma que começou a moldar na mentalidade do homem uma maior capacidade de abstração.

5) A partir do final do século VII a.C., os homens e as mulheres não se satisfaziam mais com uma explicação mítica da realidade. O processo de transformação e de criação envolvido no desenvolvimento de técnicas levou ao questionamento a respeito do universo, se ele também não respondia a um processo semelhante. Por isso, alguns historiadores da Filosofia, como Marilena Chauí e Maria Lúcia Aranha, concordam que é entre o final do século VII a.C. e o século VI a.C. que surge a Filosofia.

6) É em Mileto, situado na Jônia (atual Turquia), no século VI a.C. que nasce Tales que, para a Aristóteles, é o iniciador do pensamento filosófico que se distingue do mito. No entanto, o pensamento mítico, embora sem a função de explicar a realidade, ainda ecoa em obras filosóficas, como as de Platão, dos neoplatônicos e dos pitagóricos.

7) A autoria da palavra “filosofia” foi atribuída pela tradição a Pitágoras. As duas principais fontes sobre isso são Cícero e Diógenes Laércio. Ambos fazem uma narrativa parecida: Pitágoras teria sido interpelado pelo tirano de Fliunte sobre o nome de sua atividade ao que ele respondeu “filósofo”, isto é, amigo da sabedoria (junção das palavras gregas “philo” e “sophia”), pois, para ele, apenas os deuses poderiam ser realmente sábios.

8) A fonte na qual Cícero se baseia para escrever sobre Pitágoras é Heráclides Pontico, discípulo de Platão, mas que era também influenciado pelos pitagóricos. No entanto, não se sabe da veracidade a respeito dessa informação. Como nota Ferrater Mora que também observa que não é possível saber se “filósofo” para Pitágoras significa o mesmo que significaria para Platão ou Aristóteles.

9) No momento em que se começa a praticar a filosofia como atividade, a Grécia também testemunha o aparecimento dos sofistas. Os sofistas não se trata de uma escola filosófica, eram professores itinerantes que ensinavam jovens, mediante pagamento, a arte da oratória.

10) Para a história da filosofia ocidental, o filósofo Sócrates tem grande importância. A forma como ele entendia a atividade de filosofar e a sua investigação a respeito do humano apresenta uma inovação em relação aos outros filósofos, entre eles Tales e Pitágoras, que ainda tinham como centro de seus pensamentos a preocupação a respeito da origem do universo e outras questões relativas à natureza. Por isso, esses filósofos são chamados de “pré-socráticos”. Os filósofos gregos que vieram depois de Sócrates, e alguns foram mesmo seus alunos, como Platão, são chamados de “pós-socráticos”.

Publicado por Wigvan Junior Pereira dos Santos

Fonte: Mundo Educação

https://mundoeducacao.uol.com.br/filosofia/origem-filosofia.htm

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