Caros Leitores;
Manuscrito dos Elementos - D’Orville 301, escrito em
888
[Os Elementos] constitui o desenvolvimento
lógico mais rigorosamente tratado da matemática elementar que já fora eregido,
e dois mil anos deveriam passar-se antes que surgisse uma apresentação mais
cuidadosa. Durante esse intervalo a maior parte dos matemáticos considerou a
exposição de Euclides como logicamente satisfatória e pedagogicamente
aceitável. Boyer
A obra de Euclides, escrita em torno de 300 a. C
é composta de 13 livros ou capítulos e reúne os conhecimentos de geometria,
álgebra e aritmética. É uma obra que foi amplamente divulgada, sendo o livro
mais editado após a Bíblia. Reunindo o conhecimento das matemáticas de seu
tempo e, embora algumas demonstrações sejam de autoria de Euclides, sua maior
contribuição está na apresentação axiomática desse conhecimento. Ela considera
a distinção aristotélica entre postulado e axioma, atualmente não mais
empregada, onde o primeiro refere-se a proposições especificamente geométricas
e o último às noções gerais, que são comuns às demais ciências. Segundo
Eves (1992; p.9) para os gregos um discurso lógico era “uma seqüência de
afirmações obtidas por raciocínio dedutivo a partir de um conjunto aceito de
afirmações iniciais”, que deveriam ser explicitadas.
A maioria das proposições é voltada para a
construção geométrica, a partir da utilização de uma régua não graduada e de um
compasso. A geometria elementar apresentada nos livros didáticos de ensino
fundamental e médio está presente nessa obra que é composta por 465
proposições, sendo 93 problemas e 372 teoremas, deduzidas a partir de 5
axiomas, 5 postulados e 138 termos definidos. O livro I, destinado a
apresentação da geometria plana, contém 48 proposições, deduzidas a partir de 5
axiomas, 5 postulados e 23 termos definidos. Essa obra, como a conhecemos, é
resultado de muitas alterações ao longo dos séculos, devido às transcrições
manuais, traduções e algumas introduções propositais, como a de Theon de
Alexandria, que “não satisfeito com a versão transmitida por quase 700 anos, em
uma linguagem mais clara, inseriu passos às demonstrações, acrescentou
demonstrações alternativas e inseriu alguns teoremas secundários totalmente
novos” (TRUDEAU, 2004, p.36, tradução nossa do original em italiano)[1].
Não discutiremos detalhadamente a geometria dos
Elementos, exceto o que for necessário para a explanação do desenvolvimento das
geometrias não-euclidianas, mas incluímos o Quadro 1.1, com a apresentação da
axiomática presente no livro I.
Notemos que, embora os Elementos seja um marco
na história da matemática, considerando a época em que foi escrito, muitos de
seus conceitos, embora intuitivos, não foram adequadamente esclarecidos.
Exemplificando, noções como “estar entre”, “da mesma parte” e “maior que” não
foram definidos. É dada grande importância aos desenhos que, sendo
esclarecedores, faziam parte das demonstrações e as condições de existência de
alguns elementos não são garantidas.
Durante mais de 2.000 mil anos os Elementos
foram aceitos como verdades evidentes, mas o V postulado, por não ser tão
evidente como os demais, mesmo na Antiguidade, despertou o interesse de alguns
matemáticos, que acreditavam que o mesmo poderia ser um teorema, passível de
ser demonstrado a partir dos demais. Embora não se duvidasse de sua veracidade,
além de não ser evidente, o seu inverso é um teorema (Teorema 17), o que
contribuiu para se considerar a possibilidade de sua demonstração. Outro ponto
é que, o próprio Euclides, só o utilizou a partir de sua 29ª proposição, mesmo
se, em alguns casos, utilizá-lo em provas anteriores resultasse em
demonstrações mais simples.
Fonte: PUC SP
https://www.pucsp.br/pensamentomatematico/GH/H_2.htm
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